【Bzoj2194】快速傅立叶之二

来源和评测点

Bzoj2194
Caioj1453

题目

【题目大意】
请计算$C[k]=\sum a[i]*b[i-k] $ 其中k<=i<n,
并且有n<=10^5。a,b中的元素均为小于等于100的非负整数。
【输入格式】
第一行一个整数N,接下来N行,第i+2..i+N-1行,
每行两个数,依次表示a[i],bi
【输出格式】
输出N行,每行一个整数,第i行输出C[i-1]
【输入样例】
5
3 1
2 4
1 1
2 4
1 4
【输出样例】
24
12
10
6
1

分析

莫比乌斯反演教程和题目分类参见:
【OI之路】11更高级数论-3快速傅里叶变换
其他快速傅里叶变换题目参见:Tag-快速傅里叶变换

按通常的卷积形式应该是$c[k]=\sum_{i=0}^k a[i]*b[k-i]$
但是本题要求的是$c[k]=\sum_{i=k}^{n-1} a[i]*b[i-k]$
于是将b上下反转即可
另外,将序号看作指数,反转后对于某个c的乘积和,指数和其实是相同的

自己推一推就好了……

代码

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//Zory-2017
//*******************头文件*******************
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
//*******************全局常量*******************
const double PI=acos(-1.0);
const int MAXN=4*100000;
//*******************全局定义*******************
struct complex
{
double r,i;//real,imag
complex() {r=i=0;}
complex(double rr,double ii) {r=rr;i=ii;}
complex operator + (complex b) {return complex(r+b.r,i+b.i);}
complex operator - (complex b) {return complex(r-b.r,i-b.i);}
complex operator * (complex b) {return complex(r*b.r-i*b.i,r*b.i+i*b.r);}
//(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac-bd)+(ad+bc)i
//baike.baidu.com/item/复数运算法则
};
//*******************实现*******************
int R[MAXN+10];
complex omega[MAXN+10];
void CalcOmega(int n,int op)
{
double t=2*PI*op/n;
omega[0]=complex(1,0);
omega[1]=complex(cos(t),sin(t));
for(int k=2;k<=n/2-1;k++) omega[k]=omega[k-1]*omega[1];
}
void FFT(complex *a,int n,int op)
{
for(int i=0;i<=n-1;i++) if(i<R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
//注意判断大小不然又换回来了
for(int L=1;L<=n/2;L*=2)//合并前长度
{
CalcOmega(L*2,op);
for(int j=0;j<=n-1;j+=L*2)//开头,长度=L*2
{
for(int k=0;k<=L-1;k++)
{
complex x=a[j+k];
complex y=omega[k]*a[j+L+k];
a[j+k]=x+y;
a[j+L+k]=x-y;
//蝴蝶操作
}
}
}
if(op==-1) for(int i=0;i<=n-1;i++) a[i].r=a[i].r/double(n);
}
//*******************主函数*******************
complex a[MAXN+10],b[MAXN+10];
char s[MAXN+10];
int ans[MAXN+10];
int main()
{
int n;scanf("%d",&n);int tn=n;
int m=n-1;n=n-1;
for(int i=0;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].r,&b[m-i].r);
m=n+m+1;int log=0;n=1;
while(n<m) n*=2,log++;
for(int i=0;i<=n-1;i++) R[i]=( R[i>>1]>>1 ) | ( (i&1)<<(log-1) );
//nlogn翻转二进制
FFT(a,n,1);FFT(b,n,1);//求值
for(int i=0;i<=n-1;i++) a[i]=a[i]*b[i];//点值乘法
FFT(a,n,-1);//插值
for(int i=0;i<=m-1;i++)
{
ans[i]+=int(a[i].r+0.5);
if(ans[i]>=10)
{
ans[i+1]+=ans[i]/10;
ans[i]%=10;
if(i==m-1) m++;
}
}
for(int i=tn-1;i<=2*tn-2;i++) printf("%d\n",int(a[i].r+0.5));
}

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