【NOIP16 D2T3】换教室

Source and Judge

NOIP2016 提高组 D2T3
Loj2363
Uoj265
Luogu2831
Caioj1580

Problem

【Description】
Kiana最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说,这款游戏是在一个平面上进行的。
有一架弹弓位于(0,0)处,每次Kiana可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟,小鸟们的飞行轨迹均为形如y=ax^2+bx的曲线,其中a, b是Kiana指定的参数,且必须满足a<0。
当小鸟落回地面(即x轴)时,它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里,平面的第一象限中有n只绿色的小猪,其中第i只小猪所在的坐标为(xi, yi)。
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了(xi, yi),那么第i只小猪就会被消灭掉,同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行;
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过(xi, yi),那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第i只小猪产生任何影响。
例如,若两只小猪分别位于(1,3)和(3,3),Kiana可以选择发射一只飞行轨迹为 y = -x^2 + 4x的小鸟,这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的,就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对Kiana来说都很难,所以Kiana还输入了一些神秘的指令,使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有T个关卡,现在Kiana想知道,对于每一个关卡,至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算,所以希望由你告诉她。
【Input】
第一行包含一个正整数T,表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这T个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数n,m,分别 表示该关卡中的小猪数量和Kiana输入的神秘指令类型。接下来的n行中,第i行包含 两个正实数xi, yi,表示第i只小猪坐标为(xi, yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果m = 0,表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。
如果m = 1,则这个关卡将会满足:至多用⌈n/3 + 1⌉只小鸟即可消灭所有小猪。
如果m = 2,则这个关卡将会满足:一定存在一种最优解,其中有一只小鸟消灭了至少⌊n/3⌋只小猪。
【Output】
对每个关卡依次输出一行答案。
输出的每一行包含一个正整数,表示相应的关卡中,
消灭所有小猪最少需要的小鸟数量。
【Limited conditions】
保证1<=n<=18,0<=m<=2,0<xi, yi<10,输入中的实数均保留到小数点后两位。
【Sample input】
7
5 0
0.01 0.19
0.02 0.38
0.03 0.57
0.04 0.76
0.05 0.95
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
【Sample output】
5
1
1
2
2
3
6
【Sample explanation】

Record

2h
卡精度

Analysis

请先思考

前置知识:

  1. 中考常规操作之给出两个点,解二次函数y=ax^2+bx
  2. 卡精度的eps

然后,这么小的n,又是在noip的环境中,基本就是状压
考虑状态压缩dp,然后对于一个s,如果从前往后递推,
是可以线性的,因为满足最优子结构,然后前面的已经更新好了

然后一开始傻傻地觉得枚举a和b是非常多的
其实只要枚举两个点,解出一个二次函数就好
然后只要预处理出cc,表示枚举两个点,能搞掉的点的集合
复杂度就达到了O(2^n×n^2)
然后因为多组数据,复杂度炸了

考虑优化掉一个n的方法(其实可以看作一个log般的存在)
有一个非常不显然的特性(很多时候正解都是这样):
因为所有点都在第一象限,对于需要经过的点中【横坐标最左边的】的那个,迟早要被枚举到或者覆盖到的
那么与其等着去被覆盖,不如首先枚举
那么在dp中,枚举i和j,变成了i确定枚举j
这样就达到了无比优秀的O(2^n×n)

Code

请先思考
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
//Zory in 2018
//*******************头文件*******************
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<string>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
int mymin(int x,int y) {return x<y?x:y;}
int mymax(int x,int y) {return x>y?x:y;}
//*******************全局常量*******************
const int MAXN=20,MAXS=1<<20;
const double eps=1e-10;
//*******************全局定义*******************
int bin[MAXN];
double xx[MAXN],yy[MAXN];
int cc[MAXN][MAXN];
int dp[MAXS];
//*******************实现*******************
double myabs(double x) {return x>0?x:-x;}
//*******************主函数*******************
int main()
{
bin[0]=1;for(int i=1;i<MAXN;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
int T;scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&xx[i],&yy[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(i==j) {cc[i][j]=bin[i-1];continue;}
cc[i][j]=0;
double a1=xx[i]*xx[i],b1=xx[i],c1=yy[i];//a1x+b1y=c1
double a2=xx[j]*xx[j],b2=xx[j],c2=yy[j];//a2x+b2y=c2
if(myabs(a1*b2-a2*b1)<=eps) continue;//分母!=0
double x=(c1*b2-c2*b1)/(a1*b2-a2*b1);
double y=(c1-a1*x)/b1;//y=(x)a^2+(y)a
if(x>=-eps) continue;//a<0
for(int now=1;now<=n;now++)
{
double ny=x*xx[now]*xx[now]+y*xx[now];
if(myabs(ny-yy[now])<=eps) cc[i][j]+=bin[now-1];
}
}
memset(dp,63,sizeof(dp));dp[0]=0;
int tot=bin[n]-1;xx[n+1]=20;
for(int s=0;s<tot;s++)
{
int i=n+1;for(int j=1;j<=n;j++) if( (s&bin[j-1])==0 and xx[j]<xx[i]) i=j;
for(int j=1;j<=n;j++) dp[s|cc[i][j]]=mymin(dp[s|cc[i][j]],dp[s]+1);
}
printf("%d\n",dp[tot]);
}
}

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本文地址:http://zory.cf/2018-05/愤怒的小鸟.html
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